信号の周期（算数問題）

信号待ちをしているときに頭に浮かんだ問題。

【問題】
ある日の正午ちょうど（12:00:00）にある信号機が赤から青に変わった。
その日の13時ちょうど（13:00:00）に同じ信号機を見ると、信号は赤だった。
そのまま見ていると、その26秒後（13:00:26）に青に変わった。
この信号の周期（青に変わってから次に青に変わるまでの時間）は何秒か？

ただし周期は固定で常に一定であることと、45秒以内であることを前提とする。

【答え】
周期の秒数をsとすると、まず12:00:00から13:00:26までの3,626秒がsの自然数倍になっている、つまりsは3,626の約数の一つであることがわかります。

　s × n = 3,626　…①
　※nは自然数

さらに13:00:00から13:00:26までの26秒間の間に、赤から青に変わる瞬間が1度しかないことから、sは26より大きいこともわかります。
また、問題文の条件よりsは45より小さいので、

　26 < s < 45　…②

となります。

そして3,626を素因数分解すると

　3,626 = 2 × 7²× 37

ですので、3,626の約数は

　1, 2, 7, 14, 37, 49, 74, 98, …

となり、このうち②にあてはまるものは37のみですので、答えは37秒となります。
なお、もし45秒以内という条件が異なっている場合、たとえば90秒以内という条件であれば、37秒, 49秒, 74秒の3つの可能性があることになります。